Содержащее единицу, называется кольцом с единицей . Обозначается единица, как правило, цифрой «1» (что отражает таковые свойства одноимённого числа) или иногда (например, в матричной алгебре), латинской буквой I или E .
Разные определения алгебраических объектов могут как требовать наличие единицы, так и оставлять её необязательным элементом. Односторонний нейтральный элемент единицей не называется. Единица единственна по общему свойству двустороннего нейтрального элемента.
Иногда единицами кольца называют его обратимые элементы , что может вносить путаницу.
Единица является единственным элементом кольца как идемпотентным, так и обратимым.
Обратимым называется всякий элемент u кольца с единицей, являющийся двусторонним делителем единицы, то есть:
∃ v 1: v 1 u = 1 {\displaystyle \exists v_{1}:v_{1}\,u=1} ∃ v 2: u v 2 = 1 {\displaystyle \exists v_{2}:u\,v_{2}=1} (a 1 + μ 1 1) (a 2 + μ 2 1) = a 1 a 2 + μ 1 a 2 + μ 2 a 1 + μ 1 μ 2 1 {\displaystyle (a_{1}+\mu _{1}{\mathbf {1} })(a_{2}+\mu _{2}{\mathbf {1} })=a_{1}a_{2}+\mu _{1}a_{2}+\mu _{2}a_{1}+\mu _{1}\mu _{2}{\mathbf {1} }}с сохранением таких свойств как ассоциативность и коммутативность умножения. Элемент 1 будет являться единицей расширенной алгебры. Если в алгебре уже была единица, то после расширения она превратится в необратимый идемпотент.
С кольцом такое тоже можно проделать, например потому, что всякое кольцо является ассоциативной алгеброй над
Определение 4.1.1. Кольцо (K , +, ) – это алгебраическая система с непустым множеством K и двумя бинарными алгебраическими операциями на нем, которые будем называть сложением и умножением . Кольцо является абелевой аддитивной группой, а умножение и сложение связаны законами дистрибутивности: (a + b ) c = a c + b c и с (a + b ) = c a + c b для произвольных a , b , c K .
Пример 4.1.1. Приведем примеры колец.
1. (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно кольца целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Данные кольца называются числовыми .
2. (Z / n Z , +, ) – кольцо классов вычетов по модулю n N с операциями сложения и умножения.
3. Множество M n (K ) всех квадратных матриц фиксированного порядка n N с коэффициентами из кольца (K , +, ) с операциями матричного сложения и умножения. В частности, K может быть равно Z , Q , R , C или Z /n Z приn N .
4. Множество всех вещественных функций, определенных на фиксированном интервале (a ; b ) вещественной числовой оси, с обычными операциями сложения и умножения функций.
5. Множество полиномов (многочленов) K [x ] с коэффициентами из кольца (K , +, ) от одной переменной x с естественными операциями сложения и умножения полиномов. В частности, кольца полиномов Z [x ], Q [x ], R [x ], C [x ], Z /n Z [x ] приn N .
6. Кольцо векторов (V 3 (R ), +, ) c операциями сложения и векторного умножения.
7. Кольцо ({0}, +, ) с операциями сложения и умножения: 0 + 0 = 0, 0 0 = = 0.
Определение 4.1.2. Различают конечные и бесконечные кольца (по числу элементов множества K ), но основная классификация ведется по свойствам умножения. Различают ассоциативные кольца, когда операция умножения ассоциативна (пункты 1–5, 7 примера 4.1.1) и неассоциативные кольца (пункт 6 примера 4.1.1: здесь , ). Ассоциативные кольца делятся на кольца с единицей (есть нейтральный элемент относительно умножения) и без единицы , коммутативные (операция умножения коммутативна) и некоммутативные .
Теорема 4.1.1. Пусть (K , +, ) – ассоциативное кольцо с единицей. Тогда множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца K – мультипликативная группа.
Проверим выполнение определения группы 3.2.1. Пусть a , b K * . Покажем, что a b K * . (a b ) –1 = b –1 а –1 K . Действительно,
(a b ) (b –1 а –1) = a (b b –1) а –1 = a 1 а –1 = 1,
(b –1 а –1) (a b ) = b –1 (а –1 a ) b = b –1 1 b = 1,
где а –1 , b –1 K – обратные элементы к a и b соответственно.
1) Умножение в K * ассоциативно, так как K – ассоциативное кольцо.
2) 1 –1 = 1: 1 1 = 1 1 K * , 1 – нейтральный элемент относительно умножения в K * .
3) Для
a
K
* ,
а
–1 K
* ,
так как (а
–1) a
=
a
(а
–1) =
1
(а
–1) –1
=
a
.
Определение 4.1.3. Множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца (K , +, ) называют мультипликативной группой кольца .
Пример 4.1.2. Приведем примеры мультипликативных групп различных колец.
1. Z * = {1, –1}.
2. M n (Q ) * = GL n (Q ), M n (R ) * = GL n (R ), M n (C ) * = GL n (C ).
3. Z /n Z * – множество обратимых классов вычетов, Z /n Z * = { | (k , n ) = 1, 0 k < n }, при n > 1 | Z /n Z * | = (n ), где – функция Эйлера.
4. {0} * = {0}, так как в данном случае 1 = 0.
Определение 4.1.4. Если в ассоциативном кольце (K , +, ) с единицей группа K * = K \{0}, где 0 – нейтральный элемент относительно сложения, то такое кольцо называют телом или алгеброй с делением . Коммутативное тело называется полем .
Из данного определения очевидно, что в теле K * и 1 K * , значит, 1 0, поэтому минимальное тело, являющееся полем, состоит из двух элементов: 0 и 1.
Пример 4.1.3.
1. (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно числовые поля рациональных, вещественных и комплексных чисел.
2. (Z /p Z , +, ) – конечное поле из p элементов, если p – простое число. Например, (Z /2Z , +, ) – минимальное поле из двух элементов.
3.
Некоммутативным
телом является тело кватернионов –
совокупность кватернионов, то есть
выражений вида h
=
a
+ bi
+ cj
+ dk
,
где a
,
b
,
c
,
d
R
,
i
2 =
= j
2 = k
2 = –1,
i
j
= k
= – j
i
,
j
k
= i
= – k
j
,
i
k
= – j
= – k
i
,
с операциями сложения и умножения.
Кватернионы складываются и перемножаются
почленно с учетом указанных выше формул.
Для всякого h
0
обратный кватернион имеет вид:
.
Различают кольца с делителями нуля и кольца без делителей нуля.
Определение 4.1.5. Если в кольце найдутся ненулевые элементы a и b такие, что a b = 0, то их называют делителями нуля , а само кольцо – кольцом с делителями нуля . В противном случае кольцо называется кольцом без делителей нуля .
Пример 4.1.4.
1. Кольца (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – кольца без делителей нуля.
2.
В
кольце (V
3 (R
), +, )
каждый отличный от нуля элемент является
делителем нуля, поскольку
для всех
V
3 (R
).
3.
В
кольце матриц M
3 (Z
)
примерами делителей нуля являются
матрицы
и
,
так как A
B
=
O
(нулевая матрица).
4. В кольце (Z / n Z , +, ) с составным n = k m , где 1 < k , m < n , классы вычетов и являются делителями нуля, так как .
Ниже приведем основные свойства колец и полей.
называется порядком элемента а. Если такого n не существует, то элемент а называется элементом бесконечного порядка.
Теорема 2.7 (малая теорема Ферма). Если a G и G конечная группа, то a |G| =e .
Примем без доказательства.
Напомним, что каждая группа G, ° является алгеброй с одной бинарной операцией, для которой выполняются три условия, т.е. указанные аксиомы группы.
Подмножество G 1 множества G с той же операцией, что и в группе, называется подгруппой, если G 1 , ° является группой.
Можно доказать, что непустое подмножество G 1 множества G является подгруппой группы G, ° тогда и только тогда, когда множество G 1 вместе с любыми элементами а и b содержит элемент а° b -1 .
Можно доказать следующую теорему.
Теорема 2.8 . Подгруппа циклической группы является циклической.
Рассмотрим алгебры с двумя бинарными операциями.
Кольцом называется непустое множество R , на котором введены две бинарные операции + и ° , называемые сложением и умножением такие, что:
1) R; + является абелевой группой;
2) умножение ассоциативно, т.е. для a,b,c R: (a ° b ° ) ° c=a ° (b ° c) ;
3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для
a,b,c R: a° (b+c)=(a° b)+(а ° c) и (а +b)° c= (a° c)+(b° c).
Кольцо называется коммутативным, если для a,b R: a ° b=b ° a .
Кольцо записываем как R; +, ° .
Так как R является абелевой (коммутативной) группой относительно сложения, то она имеет аддитивную единицу, которую обозначают через 0 или θ и называют нулем. Аддитивную обратную для a R обозначают через -а. При этом в любом кольце R имеем:
0 +x=x+ 0 =x, x+(-x)=(-x)+x=0 , -(-x)=x.
Тогда получаем, что
x° y=x° (y+ 0 )=x° y+ x° 0 x° 0 =0 для х R; x° y=(х + 0 )° y=x° y+ 0 ° y 0 ° y=0 для y R.
Итак, мы показали, что для х R: x ° 0 = 0° х = 0. Однако из равенства x ° y=0 не следует, что х= 0 или у= 0. Покажем это на примере.
Пример. Рассмотрим множество непрерывных на отрезке функций. Введем для этих функций обычные операции сложения и умножения: f(x)+ ϕ (x) и f(x)· ϕ (x) . Как легко видеть, получим кольцо, которое обозначается C . Рассмотрим функцию f(x) и ϕ (x) , изображенные на рис. 2.3. Тогда получим, что f(x) ≡ / 0 и ϕ (x) ≡ / 0, но f(x)· ϕ (x) ≡0.
Мы доказали, что произведение равно нулю, если равен нулю один из множителей: a ° 0= 0 для a R и на примере показали, что может быть, что a ° b= 0 для a ≠ 0 и b ≠ 0.
Если в кольце R имеем, что a ° b= 0, то а называется левым, а b правым делителями нуля. Элемент 0 считаем тривиальным делителем нуля.
f(x)·ϕ(x)≡0 |
|||||
ϕ (x) |
Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от тривиального делителя нуля, называют целостным кольцом или областью целостности.
Легко видеть, что
0 =x° (y+(-y))=x° y+x° (-y), 0 =(x+(-x))° y=x° y+(-x)° y
и поэтому x ° (-y)=(-x) ° y является обратным элементом для элемента х° у, т.е.
х ° (-у ) = (-х )° у = -(х ° у ).
Аналогично можно показать, что (- х) ° (- у) = х° у.
Если в кольце R существует единица относительно умножения, то эту мультипликативную единицу обозначают через 1.
Легко доказать, что мультипликативная единица (как и аддитивная) единственна. Мультипликативную обратную для a R (обратную по умножению) будем обозначать через а-1 .
Теорема 2.9 . Элементы 0 и 1 являются различными элементами ненулевого кольца R .
Доказательство. Пусть R содержит не только 0. Тогда для a ≠ 0 имеем а° 0= 0 и а° 1= а ≠ 0, откуда следует, что 0 ≠ 1, ибо если бы 0= 1, то и их произведения на а совпадали бы.
Теорема 2.10 . Аддитивная единица, т.е. 0, не имеет мультипликативного обратного.
Доказательство. а° 0= 0° а= 0 ≠ 1 для а R . Таким образом, ненулевое кольцо никогда не будет группой относительно умножения.
Характеристикой кольца R называют наименьшее натуральное число k
такое, что a + a + ... + a = 0 для всех a R . Характеристика кольца
k − раз
записывается k=char R . Если указанного числа k не существует, то полагаем char R= 0.
Пусть Z – множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел; С – множество всех комплексных чисел.
Каждое из множеств Z, Q, R, C с обычными операциями сложения и умножения является кольцом. Эти кольца являются коммутативными, с мультипликативной единицей, равной числу 1. Эти кольца не имеют делителей нуля, следовательно, являются областями целостности. Характеристика каждого из этих колец равна нулю.
Кольцо непрерывных на функций (кольцо C ) тоже является кольцом с мультипликативной единицей, которая совпадает с функцией, тождественно равной единице на . Это кольцо имеет делители нуля, поэтому не является областью целостности и char C= 0.
Рассмотрим ещё один пример. Пусть М - непустое множество и R= 2M - множество всех подмножеств множества М. На R введем две операции: симметрическую разность А+ В= А В (которую назовём сложением) и пересечение (которое назовём умножением). Можно убедиться, что получили
кольцо с единицей; аддитивной единицей этого кольца будет , а мультипликативной единицей кольца будет множество М. Для этого кольца при любом А, А R , имеем: А+ А = А А= . Следовательно, charR = 2.
Полем называется коммутативное кольцо, у которого ненулевые элементы образуют коммутативную группу относительно умножения.
Приведем прямое определение поля, перечисляя все аксиомы.
Поле – это множество P с двумя бинарными операциями «+ » и «° », называемыми сложением и умножением, такими, что:
1) сложение ассоциативно: для a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c) ;
2) существует аддитивная единица: 0 P, что для a P: a+0 =0 +a=a;
3) существует обратный элемент по сложению: для a P (-a) P:
(-a)+a=a+(-a)=0;
4) сложение коммутативно: для a, b P: a+b=b+a ;
(аксиомы 1 – 4 означают, что поле есть абелева группа по сложению);
5) умножение ассоциативно: для a, b, c P: a ° (b ° c)=(a ° b) ° c ;
6) существует мультипликативная единица: 1 P , что для a P:
1 ° a=a° 1 =a;
7) для любого ненулевого элемента (a ≠ 0) существует обратный элемент по умножению: для a P, a ≠ 0, a -1 P: a -1 ° a = a ° a -1 = 1;
8) умножение коммутативно: для a,b P: a ° b=b ° a ;
(аксиомы 5 – 8 означают, что поле без нулевого элемента образует коммутативную группу по умножению);
9) умножение дистрибутивно относительно сложения: для a, b, c P: a° (b+c)=(a° b)+(a° c), (b+c) ° a=(b° a)+(c° a).
Примеры полей:
1) R;+, - поле вещественных чисел;
2) Q;+, - поле рациональных чисел;
3) C;+, - поле комплексных чисел;
4) пусть Р 2 ={0,1}. Определим, что 1 +2 0=0 +2 1=1,
1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. Тогда F 2 = P 2 ;+ 2 , является полем и называется двоичной арифметикой.
Теорема 2.11 . Если а ≠ 0, то в поле единственным образом разрешимо уравнение а° х=b .
Доказательство . a° x=b a-1 ° (a° x)=a-1 ° b (a-1 ° a)° x=a-1 ° b
В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д.
Определение 1. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям:
1. a+b=b+a (коммутативность сложения).
2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения).
3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a +0=a , при любом a .
4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a +(−a )=0.
5. (a+b)c=ac+bc (левая дистрибутивность).
5". c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность).
Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения.
Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями.
6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).
7. ab=ba (коммутативность умножения).
8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a ·1=1·a=a , для любого элемента a .
9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a −1 такой, что aa −1 =a −1 a= 1.
В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях.
Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8.
Примеры колец:
1. Множество квадратных матриц.
Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице.
2. Множество всех комплексных чисел.
3. Множество всех действительных чисел.
4. Множество всех рациональных чисел.
5. Множество всех целых чисел.
Определение 2. Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом .
Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.
Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия колец. Приведены основные определения и свойства элементов кольца, рассмотрены ассоциативные кольца. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения
Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением ) называется ассоциативным кольцом с единицей , если:
Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным кольцом. Коммутативные кольца являются одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.
Замечания 1.10.1 .
Примеры 1.10.2 (примеры ассоциативных колец) .
Мы уже убедились, что группа вычетов (Z n ,+)={C 0 ,C 1 ,...,C n-1 }, C k =k+nZ , по модулю n с операцией сложения , является коммутативной группой (см. пример 1.9.4, 2)).
Определим операцию умножения, полагая . Проверим корректность этой операции . Если C k =C k" , C l =C l" , то k"=k+nu , l"=l+nv , , и поэтому C k"l" =C kl .
Так как (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m , то является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей C 1 кольцом вычетов по модулю n ).
Лемма 1.10.3 (бином Ньютона) . Пусть R - кольцо с 1 , , . Тогда:
Доказательство.
Определение 1.10.4 . Подмножество S кольца R называется подкольцом , если:
а) S - подгруппа относительно сложения в группе (R,+) ;
б)для имеем ;
в)для кольца R с 1 предполагается, что .
Примеры 1.10.5 (примеры подколец) .
Задача 1.10.6 . Описать все подкольца в кольце вычетов Z n по модулю n .
Замечание 1.10.7 . В кольце Z 10 элементы, кратные 5 , образуют кольцо с 1 , не являющееся подкольцом в Z 10 (у этих колец различные единичные элементы).
Определение 1.10.8 . Если R - кольцо, и , , ab=0 , то элемент a называется левым делителем нуля в R , элемент b называется правым делителем нуля в R .
Замечание 1.10.9 . В коммутативных кольцах, естественно, нет различий между левыми и правыми делителями нуля.
Пример 1.10.10 . В Z , Q , R нет делителей нуля.
Пример 1.10.11 . Кольцо непрерывных функций C имеет делители нуля. Действительно, если
Пример 1.10.12
. Если n=kl
, 1 Лемма 1.10.13
. Если в кольце R
нет (левых) делителей нуля, то из ab=ac
, где , , следует, что b=c
(т. е. возможность сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левых делителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля). Доказательство. Если ab=ac
, то a(b-c)=0
. Так как a
не является левым делителем нуля, то b-c=0
, т. е. b=c
. Определение 1.10.14
. Элемент называется нильпотентным
, если x n =0
для некоторого . Наименьшее такое натуральное число n
называется степенью нильпотентности элемента
. Ясно, что нильпотентный элемент является делителем нуля (если n>1
, то , ). Обратное утверждение неверно (в Z 6
нет нильпотентных элементов, однако 2
, 3
, 4
- ненулевые делители нуля). Упражнение 1.10.15
. Кольцо Z n
содержит нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда n
делится на m 2
, где , . Определение 1.10.16
. Элемент x
кольца R
называется идемпотентом
, если x 2 =x
. Ясно, что 0 2 =0
, 1 2 =1
. Если x 2 =x
и , , то x(x-1)=x 2 -x=0
, и поэтому нетривиальные идемпотенты
являются делителями нуля. Через U(R)
обозначим множество обратимых элементов ассоциативного кольца R
, т. е. тех , для которых существует обратный элемент s=r -1
(т. е. rr -1 =1=r -1 r
).